1.3. 편도함수

미적분학의 궁극적인 목표는 함수의 도함수와 역도함수를 구하는 것이다. 그렇다면 다변수함수의 "도함수"에 해당하는 개념은 무엇일까? 비록 그것을 바로 구할 수는 없으나, 우리는 편미분이라는 일변수함수의 도함수와 상당히 유사한 개념을 도입하여 그 힌트를 얻을 수 있다. (편미분 자체가 훌륭한 수학적 도구이기도 하다.) 편미분은 n변수함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 간주하여 미분하는 것이다.

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$n$변수함수 $f$에 대해서, 점 $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$에서 변수 $x_{i}$에 관한 $f$의 편미분계수는 다음과 같은 극한이다. $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left ( a \right )=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\frac{f\left ( a_{1},a_{2},...,a_{i}+\Delta x_{i},...,a_{n} \right )-f\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )}{\Delta x_{i}}$$

 

위 극한이 존재할 때, $f$는 $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$에서 $f$는 $x_{i}$에 대해 편미분가능하다고 한다. 모든 $\boldsymbol{\mathbf{x}}\in D$에서 $f$가 $x_{i}$에 대해 편미분가능하면, $f$가 $D$에서 $x_{i}$에 대해 편미분가능하다고 한다. 이때, 편미분은 정의역이 $D$, 공역이 $\mathbb{R}$인 함수 $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ 이며, 이를 $f$의 편도함수라 한다.

2.2.1.3. 편도함수

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위의 정의를 통해 얻어진 편미분계수는 일변수함수의 도함수와 마찬가지로 순간변화율로 해석할 수 있다. 즉, $f$의 $x_{i}$에 관한 편미분계수는 $x_{i}$를 제외한 모든 변수를 고정시킬 때 $x_{i}$에 대한 $f$의 순간적인 변화율을 나타낸다.

 

편미분은 위에서 언급했듯이 우리가 알고 있는 일변수함수의 도함수와 많은 특징을 공유한다. 우리는 다변수함수 $f$의 $m$계 편도함수를 정의해 볼 수 있을 것이다.

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$n$변수함수 $f$에 대해서, 변수 $x_{i1}, x_{i2},...,x_{im}$에 관한 $f$의 $m$계 편도함수는 다음과 같다. $$\frac{\partial }{\partial x_{i1}}\frac{\partial }{\partial x_{i2}}\cdots \frac{\partial }{\partial x_{im}}f=\frac{\partial^m }{\partial x_{i1}\partial x_{i2}\cdots \partial x_{im}}f$$

2.2.1.4. 고계 편도함수 

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일반적으로, 편미분은 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉 $\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial }{\partial y})f\neq \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial }{\partial x})f$인 것인데, 알렉시 클로드 클레로가 찾아낸 예외사항이 있다.

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점 $(a,b)$를 포함하는 원판 $D$에서 정의되는 함수 $f$를 생각한다. 함수 $f_{xy}$와 $f_{yx}$가 $D$에서 연속이면 다음이 성립한다. $$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$$ 

2.2.1.5. 클레로의 정리

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