1.2. 다변수함수의 극한과 연속

다변수함수에 엡실론-델타 논법을 적용시키는 것은 일변수함수의 그것보다 약간의 논리적 도약을 요구한다.

사실, 전체적인 정의의 구조는 일변수함수의 엡실론-델타 논법과 전혀 다르지 않다. $n=1$인 상황에서 아래 정의는 일변수함수의 극한의 정의와 완벽하게 일치한다.

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$n$변수실함수 $f$가 중심이 $\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )$인 $n$차원 초구에서 정의된다고 하자. 이때 $$\lim_{(x_{1},...,x_{n})\rightarrow (c_{1},...,c_{n})}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=L$$이란 임의의 $\varepsilon >0$에 대하여 적절한 $\delta >0$가 존재하여 $$0<\sqrt{(x_{1}-c_{1})^{2}+(x_{2}-c_{2})^{2}+...+(x_{n}-c_{n})^{2}}<\delta \Rightarrow \left | f-L \right |<\varepsilon $$ 이 성립한다는 의미이다. 이때 $L$을 $f$의 $\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )$에서의 극한값이라 정의한다.

 

2.2.1.1. 다변수함수의 극한

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2.2.1.1.에서 이야기했듯이, $n$변수함수$f$는 $n$개의 성분을 가진 벡터의 함수로 정의될 수 있다. 이를 이용하면 극한의 정의를 조금 더 간결하게 고칠 수 있다.

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$n$변수실함수 $f$가 중심이 $\mathbf{a}$인 $n$차원 초구에서 정의된다고 하자. 이때 $$\lim_{\mathbf{x}\rightarrow\mathbf{a} }f(\mathbf{x})=L$$이란 임의의  $\varepsilon >0$에 대하여 적절한 $\delta >0$가 존재하여 $$0<\left \| \mathbf{x}-\mathbf{a} \right \|<\delta \Rightarrow \left | f-L \right |<\varepsilon $$ 이 성립한다는 의미이다. 이때 $L$을 $f$의 $\mathbf{a}$에서의 극한값이라 정의한다.

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여기서 $f$를 단순히 실수함수가 아닌 벡터 공간을 치역으로 갖는 벡터함수로 정의한다면 일반적인 벡터함수의 극한을 정의할 수 있다. 그러나, 그것은 벡터해석을 배울 미래의 당신의 몫이다.

 

다변수함수의 연속성은 별도의 설명이 필요하지 않을 정도로 간결하며, 일변수함수의 그것과 본질적으로 동일하다.

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$n$변수실함수 $f$에 대해 다음이 성립하면, $f$는 $\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )$에서 연속이라고 한다. $$\lim_{(x_{1},...,x_{n})\rightarrow (c_{1},...,c_{n})}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(c_{1},...,c_{n})$$ 영역 F에 속하는 모든 점 $\left ( c_{1},c_{2},...,c_{n} \right )$에서 $f$가 연속이면, $f$는 영역 F에서 연속이라고 한다.

 

2.2.1.2. 다변수함수의 연속