1.2. 뉴턴의 운동법칙 (2): 가속도

뉴턴의 제2법칙은 힘의 물리적 의미를 정량적로 정의하며, 또한 힘과 가속도의 관계를 기술한다.

 

$$ F=m\frac{d\vec{v}}{dt} $$

1.1.1.2. 가속도 법칙

 

질량의 정체는 상당히 모호하다. 인간이 지구상에서 관측하는 모든 질량은 중력의 크기에 기반하기 때문이다. 물질의 질량의 고전역학적 정의는 운동에 대한 저항의 측도이다. 같은 크기의 힘이 작용할 때, 질량이 큰 물체는 잘 움직이려 하지 않고, 질량이 작은 물체는 잘 움직인다.

 

보다 정량적인 정의를 위해, 정확히 같은 크기의 힘을 받는 두 물체를 생각한다. 두 물체는 각각 m₁과 m₂의 질량을 가지고 있고, 각각 v₁과 v₂의 속도로 움직인다고 하자. 이때, 우리는 두 질량의 비를 다음과 같이 정의한다.

$$\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{v_{2}}{v_{1}}$$

양변을 미분하면 다음의 관계식을 얻는다.

$$\frac{d}{dt}m_{1}v_{1}=\frac{d}{dt}m_{2}v_{2}$$

질량과 속도의 곱 mv를 선운동량이라 한다. 뉴턴은 운동의 변화량을 선운동량의 시간 변화율로 정의했다. 두 물체가 같은 힘을 받았기 때문에, 선운동량의 시간 변화율 mv는 힘 F에 비례한다고 할 수 있다. 

$$ F=k\frac{dm\vec{v}}{dt} $$

k는 비례상수이며, 고전적 상황에서 1로 수렴한다. 이에 대한 논의는 상대론에서 이어진다. m은 t에 무관한 상수이기 때문에, Dmv는 mDv와 같다. 결론적으로, 우리는 뉴턴의 제2법칙을 얻는다.

$$ F=m\frac{d\vec{v}}{dt} $$

 

선운동량은 고전역학과 상대론, 그리고 양자론에서 모두 중요한 개념이다. 때문에 이를 표현하는 기호가 따로 있다.

$$ \vec{p}=m\vec{v} $$

뉴턴의 제2법칙은 이렇게 표현된다.

$$ F=\frac{d\vec{p}}{dt} $$

1.1.1.2. 가속도 법칙

이는 뉴턴의 제2법칙의 보다 일반적인 형태이며, 상대론과 양자역학 등에서 보편화된 표현이다. 이는 상대적이거나 미시적인 기준계에서 운동량이 더는 단순히 mv로써 표현되지 않기 때문이다.