1.1. 다변수함수

간단히 말해서, 독립변수가 둘 이상인 함수를 다변수함수라 한다.

n변수실함수는 정의역이 $\mathbb{R}^{n}$의 부분집합이고, 치역이 $\mathbb{R}$의 부분집합이다. 3차원 직교좌표계 위에서, 정의역은 xy평면의 부분집합으로 표현되고, 치역은 z축으로 표시된 실직선 위 수들의 집합이다.

 

비슷하게, n변수실함수 f의 그래프는 $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$가 정의역 D에 속하고 $y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$인 $\mathbb{R}^{n}$에 속하는 점 $(x_{1},x_{2},...,x_{n},f)$ 전체의 집합이다.

 

$\mathbb{R}^{n}$의 점 $(x_{1},x_{2},...,x_{n},f)$과 위치벡터 $\mathbf{x}=\left \langle x_{1},x_{2},...,x_{n},f \right \rangle$의 일대일 대응을 고려하면, 다변수실함수 f는 다음과 같이 세 가지 관점에서 생각할 수 있다.

1. n개의 실변수 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$의 함수

2. 단일점변수 $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$의 함수

3. 단일벡터변수 $\mathbf{x}=\left \langle x_{1},x_{2},...,x_{n},f \right \rangle$의 함수

 

가장 추상적인 형태로, 다변수함수 f는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$$